Mathematische Modellierung mit Markov-Ketten und stochastischen Methoden - Dummies

A stochastisches Modell > ist ein Werkzeug, mit dem Sie mögliche Ergebnisse schätzen können, wenn eine oder mehrere Modellvariablen zufällig geändert werden. Eine Markov-Kette - auch als diskrete Markov-Kette bezeichnet - ist ein stochastischer Prozess, der als mathematische Methode dient, um eine Reihe zufällig generierter Variablen zu ketten, die den gegenwärtigen Zustand repräsentieren, um zu modellieren, wie Veränderungen in den vorhandenen Zustandsvariablen beeinflussen zukünftige Zustände.

Stell dir vor, du liebst es zu reisen, aber du reist nur zu Orten, die a) ein tropisches Paradies, b) ultramoderne Städte oder c) bergig in ihrer Majestät sind. Bei der Wahl des nächsten Reisewegs treffen Sie Ihre Entscheidungen immer nach folgenden Regeln:

Sie reisen genau einmal alle zwei Monate.

• Wenn Sie heute irgendwo in den Tropen reisen, reisen Sie als nächstes in eine ultramoderne Stadt (mit einer Wahrscheinlichkeit von 7/10) oder an einen Ort in den Bergen (mit einer Wahrscheinlichkeit von 3/10), aber Sie reisen nicht nach ein anderes tropisches Paradies als nächstes.

• Wenn Sie heute in eine ultramoderne Stadt reisen, reisen Sie mit gleicher Wahrscheinlichkeit neben einem tropischen Paradies oder einer Bergregion, aber definitiv nicht in eine andere hochmoderne Stadt.

• Wenn Sie heute in die Berge reisen, werden Sie neben einem tropischen Paradies (mit einer Wahrscheinlichkeit von 7/10) oder einer ultramodernen Stadt (mit einer Wahrscheinlichkeit von 2/10) oder einer anderen Bergregion (mit einem - Fähigkeit von 1/10).

• Da Ihre Wahl, wohin Sie morgen reisen, nur davon abhängt, wo Sie heute hinreisen und nicht wohin Sie in der Vergangenheit gereist sind, können Sie ein spezielles statistisches Modell verwenden, das als Markov-Kette bekannt ist. modellieren Sie Ihre Entscheidungsfindung. Darüber hinaus könnten Sie mit diesem Modell Statistiken erstellen, um vorherzusagen, wie viele Ihrer zukünftigen Urlaubstage Sie in einem tropischen Paradies, einer majestätischen Bergregion oder einer ultramodernen Stadt verbringen werden.

Wenn wir uns näher ansehen, was hier vor sich geht, stellt das oben beschriebene Szenario sowohl ein stochastisches Modell als auch eine Markov-Kettenmethode dar. Das Modell enthält eine oder mehrere Zufallsvariablen und zeigt, wie sich Änderungen in diesen Variablen auf die vorhergesagten Ergebnisse auswirken. In Markov-Methoden müssen zukünftige Zustände vom Wert des gegenwärtigen Zustands abhängen und von allen vergangenen Zuständen bedingt unabhängig sein.

Sie können Markov-Ketten als Data-Science-Tool verwenden, indem Sie ein Modell erstellen, das basierend auf dem Wissen über den Wert der aktuellen Datenpunkte in einem Dataset prädiktive Schätzwerte für den Wert zukünftiger Datenpunkte generiert.Verwenden Sie Markov-Ketten, um zukünftige Zustände basierend auf dem aktuellen Status eines Systems vorherzusagen.

Markov-Ketten sind äußerst nützlich bei der Modellierung einer Vielzahl von realen Prozessen. Sie werden häufig in Börsen-Börsenmodellen, in finanziellen Asset-Pricing-Modellen, in Sprach-zu-Text-Erkennungssystemen, in Webseiten-Such- und Rangsystemen, in thermodynamischen Systemen, in Genregulierungssystemen und in Zustandsschätzungsmodellen verwendet. zur Mustererkennung und zur Populationsmodellierung.

Eine wichtige Methode in Markov-Ketten ist das Markov-Chain-Monte-Carlo-Verfahren (MCMC). Eine Markov-Kette wird schließlich einen

stationären Zustand erreichen - eine langfristige Menge von Wahrscheinlichkeiten für die Zustände der Kette. Sie können dieses Merkmal verwenden, um Wahrscheinlichkeitsverteilungen abzuleiten und dann anhand dieser Monte Carlo-Stichproben Stichproben zu erstellen, um langfristige Schätzungen zukünftiger Zustände zu erstellen.